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Qu’est-ce que le paradoxe de la tortue ?

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Le nom exact de ce paradoxe est le Paradoxe d’Achille et de la tortue. Il fait partie des paradoxes de Zénon, une série de paradoxes mis en lumière par Zénon d’Élée pour soutenir une doctrine particulière: la doctrine de Parménide, selon laquelle toute évidence des sens est fallacieuse, et le mouvement est impossible.

Pour rappel, Zénon d’Élée est un philosophe grec qui vécut au 5ème siècle avant JC.

Il imagina 8 paradoxes dont certains furent rapidement réfutés mais d’autres moins. Ceux-là représentèrent des questions majeures pour les philosophes antiques et médiévaux et ne trouvèrent une solution qu’au 17e siècle. Parmi ces 8 paradoxes figurent celui d’Achille et de la tortue.

Dans celui-ci le héros grec Achille fait une course contre une tortue. Achille réputé rapide, accorde à l’animal 100 mètres d’avance. Le philosophe Zénon indique que malgré la différence de vitesse, Achille n’a jamais pu rattraper son retard. Il dit: « supposons pour simplifier le raisonnement que chaque concurrent court à vitesse constante, l’un très rapidement, et l’autre très lentement ; au bout d’un certain temps, Achille aura comblé ses cents mètres de retard et atteint le point de départ de la tortue ; mais pendant ce temps, la tortue aura parcouru une certaine distance, certes beaucoup plus courte, mais non nulle, disons un mètre. Cela demandera alors à Achille un temps supplémentaire pour parcourir cette distance, pendant lequel la tortue avancera encore plus loin ; et puis une autre durée avant d’atteindre ce troisième point, alors que la tortue aura encore progressé. Ainsi, toutes les fois où Achille atteint l’endroit où la tortue se trouvait, elle se retrouve encore plus loin. Par conséquent, le rapide Achille n’a jamais pu et ne pourra jamais rattraper la tortue ».

Depuis son énoncé ce paradoxe a interrogé les mathématiciens parmi lesquels les plus grands comme Galilée.

L‘erreur ici consiste à considérer que la somme d’une infinité d’événements de plus en plus brefs tend vers l’infini, ce qui signifie qu’Achille n’arriverait jamais au niveau de la tortue. C’est faux.
James Gregory, un mathématicien écossais du 17ème siècle l’a montré. Il a bel et bien démontré que contrairement à ce que laisse penser le paradoxe de la tortue, une somme infinie de nombre peut avoir un résultat fini. La moitié de la distance ajouté à la moitié de la moitié de la distance ajouté à la la moitié de la moitié de la moitié de la distance etc… donne bien au final une distance entière. Il arrivera donc bien un moment où Achille dépassera la tortue.

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